🏛️ ಖಜಾನೆ · № 11 · ವಿಭಾಗ 3 — ಬದಲಾವಣೆಯ ಗಣಿತ · ನೋಡು, ನಂತರ ಯೋಚಿಸು
ಖಜಾನೆ №2 ನಿನಗೆ ನಿಯಮ ಕಲಿಸಿತು: ಶೂನ್ಯದ ಕಡೆಗೆ ಚಿಕ್ಕದಾಗುತ್ತಾ ಹೋಗುವ ತುಂಡುಗಳು ಸುರಕ್ಷಿತ — ½ + ¼ + ⅛ + … ಸರಿಯಾಗಿ 1ರಲ್ಲಿ ನೆಲೆಸುತ್ತದೆ, ಅನಂತ ಪಳಗಿತು. ಈಗ ಒಂದು ರಾಶಿಯನ್ನು ಭೇಟಿಯಾಗು — ಇದರ ತುಂಡುಗಳೂ ಶೂನ್ಯದ ಕಡೆಗೇ ಚಿಕ್ಕದಾಗುತ್ತವೆ — ½, ⅓, ¼, ⅕, ⅙ … ಅದೇ ಜೋಡಣೆ, ಅದೇ ಚಿಕ್ಕದಾಗುವ ತುಂಡುಗಳು — ಹಾಗಾದರೆ ಇದೂ ನೆಲೆಸಿಬಿಡುತ್ತದೆ ಅಲ್ಲವಾ? ಸುಮಾರು 1350ರಲ್ಲಿ, ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಹುಟ್ಟುವ ಆರು ಶತಮಾನಗಳ ಮೊದಲೇ, ಒಬ್ಬ ಮಧ್ಯಕಾಲೀನ ವಿದ್ವಾಂಸ ಇದಕ್ಕೆ ಉತ್ತರ ಕೊಟ್ಟ — ಮತ್ತು ಆ ಉತ್ತರದಿಂದಲೇ ಈ ಪಾಠಕ್ಕೆ ನಿಧಾನ ಸ್ಫೋಟ ಅಂತ ಹೆಸರು.
ಯಾವುದೇ ವಾಕ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ ಸೆನ್ಸೈಗೆ ಕೇಳು ✨
ಒಂದು ರಾಶಿ, ಚಿಕ್ಕದಾಗುತ್ತಾ ಹೋಗುವ ತುಂಡುಗಳು, ಮತ್ತು ಅತಿ ನಿಧಾನಗತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸ್ಫೋಟ. ಮೊದಲು ವಿಡಿಯೊ ನೋಡು — ಆಮೇಲೆ ಕೆಳಗೆ ಸರಿಸಿ ಇದನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದ ವಿದ್ವಾಂಸನನ್ನು ಭೇಟಿಯಾಗು, ಮತ್ತು ರಾಶಿಯನ್ನು ನೀನೇ ಕಟ್ಟಿ ನೋಡು.
🎧 ವಿಡಿಯೊದಲ್ಲಿ ಮಾತು ಇಂಗ್ಲಿಷ್ನಲ್ಲಿದೆ — ಆದರೆ ಕನ್ನಡ ಸಬ್ಟೈಟಲ್ಗಳು ತಾವಾಗಿಯೇ ಕಾಣಿಸುತ್ತವೆ, ಓದುತ್ತಾ ನೋಡು. ಬೇಕಿದ್ದರೆ ವಿಡಿಯೊದ ಸಬ್ಟೈಟಲ್ ಗುಂಡಿ ಒತ್ತಿ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಪುಟದ ಉಳಿದ ಕಥೆ ಮತ್ತು ಆಟಗಳೆಲ್ಲ ಕನ್ನಡದಲ್ಲಿವೆ.
ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಇಲ್ಲ, ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವ ಬೀಜಗಣಿತ ಇಲ್ಲ, ಸಮ ಚಿಹ್ನೆ (=) ಕೂಡ ಇಲ್ಲ — ಇವು ಯಾವುವೂ ಆಗ ಇರಲಿಲ್ಲ. ಇದ್ದದ್ದು ಒಬ್ಬ ಫ್ರೆಂಚ್ ವಿದ್ವಾಂಸ, ಅವನ ಕೈಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗರಿಯ ಲೇಖನಿ, ಒಂದು ಅಪಾಯಕಾರಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ರಾಶಿ, ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಒಂದು ಮಾರಕ ಆಲೋಚನೆ: ಗುಂಪು ಮಾಡುವುದು.
ನಿಕೋಲ್ ಒರೆಸ್ಮ್, ಸುಮಾರು 1350ರಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತಿದ್ದ ಒಬ್ಬ ಫ್ರೆಂಚ್ ವಿದ್ವಾಂಸ (ಆಮೇಲೆ ಅವನು ಬಿಷಪ್ ಆದ), ಈ ರಾಶಿ ಸ್ಫೋಟಿಸುತ್ತದೆ ಅಂತ ಬರೀ ಗುಂಪು ಮಾಡುವುದರಿಂದಲೇ ಸಾಬೀತು ಮಾಡಿದ: ⅓ + ¼ ಅನ್ನುವುದು ½ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು; ಮುಂದಿನ ನಾಲ್ಕು ತುಂಡುಗಳು ಸೇರಿ ½ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು; ಮುಂದಿನ ಎಂಟು ಸೇರಿ ಮತ್ತೆ ½ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು — ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ. ಅನಂತ ಅರ್ಧಗಳು, ಒಂದರ ಮೇಲೊಂದು ಪೇರಿಸಿದಂತೆ. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕಿಂತ ಆರು ಶತಮಾನ ಮೊದಲು — ಮತ್ತು ಅವನ ಆ ಪುರಾವೆ ಇವತ್ತಿಗೂ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ, ಬಹುತೇಕ ಬದಲಾಗದೆಯೇ ಇದೆ.
ಒಂದು ಗರಿ. ಒಂದು ಟ್ರಿಕ್. ಇನ್ನೂ ಅಜೇಯ. 🥷
ಒಂದು ತಂತಿಯನ್ನು ಮೀಟಿದರೆ ಅದು ಒಂದು ಸ್ವರ ಹಾಡುತ್ತದೆ. ಈಗ ಅದನ್ನು ಅದರ ಉದ್ದದ ½ರಲ್ಲಿ ಒತ್ತಿಹಿಡಿದು ಮೀಟು: ಇನ್ನೂ ಎತ್ತರದ ಸ್ವರ. ⅓ರಲ್ಲಿ, ¼ರಲ್ಲಿ ಒತ್ತಿಹಿಡಿ — ಪ್ರತಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯೂ ಸಂಗೀತಕ್ಕೆ ಶ್ರೀಮಂತಿಕೆ ಕೊಡುವ ಉಪಸ್ವರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಕಂಪಿಸುವ ತಂತಿಯ ಆ ಸ್ವರಗಳೇ ಹಾರ್ಮೊನಿಕ್ಸ್ — ಮತ್ತು ತಂತಿಯ ಈ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸರಣಿಗೆ, ½, ⅓, ¼, ⅕ …, ಅವುಗಳ ಹೆಸರೇ ಬಂದಿದೆ: ಹಾರ್ಮೊನಿಕ್ ಸರಣಿ.
ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ರಾಶಿಗೆ ಹೆಸರಿಟ್ಟದ್ದು ಒಂದು ವಾದ್ಯವೃಂದ. 🎻
ಮೇಜಿನ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ಬ್ಲಾಕುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನೂ ಹಾರ್ಮೊನಿಕ್ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗುತ್ತಾ ಹೋಗುವಷ್ಟು ಸರಿಸಿ — ಆಗ ಗೋಪುರ ಅಂಚಿನಾಚೆಗೆ ನಿನಗೆ ಬೇಕಾದಷ್ಟು ದೂರ ವಾಲಬಲ್ಲದು — ಒಂದು ಬ್ಲಾಕಿನ ಅಗಲ, ಎರಡು, ಹತ್ತು — ಯಾಕೆಂದರೆ ಆ ಸರಿತಗಳು ಹಾರ್ಮೊನಿಕ್ ಸರಣಿಯ ಹಾಗೆಯೇ ಕೂಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಆ ಮೊತ್ತ ಬೆಳೆಯುವುದನ್ನು ಎಂದೂ ನಿಲ್ಲಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ನಿಜವಾದ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಯೋಗ: ಜನ ಇಸ್ಪೀಟ್ ಎಲೆಗಳಿಂದ, ಜೆಂಗಾ ಬ್ಲಾಕುಗಳಿಂದ ಇದನ್ನು ಕಟ್ಟುತ್ತಾರೆ.
ಒಂದು ಇಸ್ಪೀಟ್ ಕಟ್ಟಿನಿಂದ ಪ್ರಯತ್ನಿಸು. ನಿಧಾನವಾಗಿ. 🧱
ಹಾಗಾಗಿ ಖಜಾನೆ №2ರ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಒಂದು ದುರಸ್ತಿ ಬೇಕು: ಚಿಕ್ಕದಾಗುವುದು ಮಾತ್ರ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ — ಮುಖ್ಯವಾದದ್ದು ಚಿಕ್ಕದಾಗುವ ವೇಗ. ಅರ್ಧ ಅರ್ಧವಾಗಿ ಬೇಗ ಚಿಕ್ಕದಾಗುವ ತುಂಡುಗಳು: ಸುರಕ್ಷಿತ, ಮೊತ್ತ ಸರಿಯಾಗಿ 1. 1/n ರೀತಿಯ ನಿಧಾನ ತುಂಡುಗಳು: ಅನಂತ. ಈ ಎರಡನ್ನೂ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಗುರುತಿಸುವುದೇ ಒಂದು ಅಪ್ಪಟ ಗಣಿತದ ಮಹಾಶಕ್ತಿ — ಪಕ್ಕದ ಮನೆಯ ಕೊಂಬು ನಡೆಯುವುದೇ ಸರಿಯಾಗಿ ಈ ವಿಭಜನೆಯ ಮೇಲೆ: ಒಂದು ಕಡೆ ಮಿತಿಯಿರುವ, ಇನ್ನೊಂದು ಕಡೆ ಅನಂತ.
“ಚಿಕ್ಕದಾಗುತ್ತಾ?” ಅಲ್ಲ — “ಎಷ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗುತ್ತಾ?” ⚡
ಟೋಪಿ ಮತ್ತು ಸುರಕ್ಷತಾ ಕನ್ನಡಕ ಹಾಕಿಕೊಂಡ ಒಂದು ಬೀವರ್ ಈ ಮರಗೆಲಸದ ಅಂಗಡಿಯನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇವತ್ತು ರಾತ್ರಿ ಅದು ಮೇಜಿನ ಅಂಚಿನಾಚೆಗೆ ಬ್ಲಾಕುಗಳನ್ನು ಪೇರಿಸುತ್ತಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಬ್ಲಾಕೂ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಕಡಿಮೆ ಹೊರಚಾಚುತ್ತದೆ — ಹಾಗಾಗಿ ಪೇರಿಸುತ್ತಲೇ, ಈ ಹೊರಚಾಚು ಯಾವತ್ತಾದರೂ ನಿಲ್ಲಲೇಬೇಕಾ ಅಂತ ಬೀವರ್ ಕೇಳುತ್ತಲೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಅದು ಮೊದಲು ಕಟ್ಟುತ್ತದೆ, ನಂಬುವುದು ಆಮೇಲೆ.
ರಾಶಿಯನ್ನು ನೀನೇ ಕಟ್ಟು. ಒಂದು ಪೂರ್ತಿ ತುಂಡಿನಿಂದ ಶುರುಮಾಡು, ಆಮೇಲೆ ½, ಆಮೇಲೆ ⅓, ಆಮೇಲೆ ¼ — ಪ್ರತಿ ತುಂಡೂ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದು. ಬಾವುಟಗಳು 2, 3, 4 ಮತ್ತು 5 ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತವೆ. ಅದರ ಕೆಳಗೆ, ಹೋಲಿಕೆಗಾಗಿ: ಅಷ್ಟೇ ತುಂಡುಗಳನ್ನು ತಿನ್ನಿಸಿದ ಖಜಾನೆ №2ರ ಅರ್ಧ-ಅರ್ಧ ರಾಶಿ. ಈ ಎರಡು ಮಾಪಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಎಲ್ಲಿಗೋ ಹೊರಟಿದೆ. ನಿಧಾನವಾಗಿ.
🐌 ಹಾರ್ಮೊನಿಕ್ ರಾಶಿ: 0 ತುಂಡು · ಒಟ್ಟು 0
🍫 ಅರ್ಧ-ಅರ್ಧ ರಾಶಿ (½ + ¼ + ⅛ + …), ಅಷ್ಟೇ ತುಂಡುಗಳು: 0 ತುಂಡು · ಒಟ್ಟು 0
ಈಗ ಈ ರಾಶಿ ಒಂದು ಭೌತಿಕ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದನ್ನು ನೋಡು. ಮೇಜಿನ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ಬ್ಲಾಕುಗಳನ್ನು ಪೇರಿಸಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನೂ ಚಿಕ್ಕದಾಗುತ್ತಾ ಹೋಗುವಷ್ಟು ಹೊರಗೆ ತಳ್ಳು — ಒಂದು ಬ್ಲಾಕಿನ ಅಗಲದ ½, ಆಮೇಲೆ ¼, ಆಮೇಲೆ ⅙, ಆಮೇಲೆ ⅛… (ಅಂದರೆ 1/(2n): ಸರಿಯಾಗಿ ಹಾರ್ಮೊನಿಕ್ ರಾಶಿಯ ಅರ್ಧ). ಆ ಮೊತ್ತ ಬೆಳೆಯುವುದನ್ನೇ ನಿಲ್ಲಿಸದ ಕಾರಣ, ಈ ವಾಲಿಕೆಯೂ ನಿಲ್ಲಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಮೇಲಿನ ಬ್ಲಾಕ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮೇಜಿನ ಆಚೆಗೆ ತೇಲಲು ಎಷ್ಟು ಬ್ಲಾಕ್ ಬೇಕು?
ಒರೆಸ್ಮ್ನ ಇಡೀ ಪುರಾವೆ ಇಲ್ಲಿದೆ, ಜೇಬಿನಲ್ಲಿ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದು: ⅓ + ¼ ಅನ್ನುವುದು ¼ + ¼ = ½ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದು. ಮುಂದಿನ ನಾಲ್ಕು ತುಂಡುಗಳು, ⅕ + ⅙ + ⅐ + ⅛, ನಾಲ್ಕು ಎಂಟನೇ ಭಾಗಗಳಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡವು — ಅಂದರೆ ಮತ್ತೆ ½ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡವು. ಮುಂದಿನ ಎಂಟು ಮತ್ತೆ ½ ಅನ್ನು ಮೀರಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ ಗುಂಪೂ ನಿನಗೆ ಇನ್ನೊಂದು ಅರ್ಧ ಕೊಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಗುಂಪುಗಳು ಎಂದೂ ಮುಗಿಯುವುದಿಲ್ಲ — ಹಾಗಾಗಿ ರಾಶಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೂ ದಾಟಿ ಏರುತ್ತದೆ. ಚಿಕ್ಕದಾಗುವ ತುಂಡುಗಳು ತಾವಾಗಿಯೇ ಸುರಕ್ಷಿತ ಅಲ್ಲ; ತೀರ್ಮಾನ ಮಾಡುವುದು ಚಿಕ್ಕದಾಗುವ ವೇಗ.
ಮತ್ತು ಈ ಸ್ಫೋಟ ನಿಜಕ್ಕೂ ನಿಧಾನವೇ: 5 ದಾಟಲು 83 ತುಂಡುಗಳು ಬೇಕಾದವು, ಮತ್ತು 10 ದಾಟಲು ಸುಮಾರು 12,367 ಬೇಕು. ಈ ರಾಶಿ ಒಂದು ಲಾಗರಿದಮ್ (logarithm) ಬೆಳೆಯುವ ಹಾಗೆ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ — ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ ಏರುತ್ತಲೇ ಇರುವ ಗಣಿತದ ಅತ್ಯಂತ ನಿಧಾನ ಏರಿಕೆ. ನಿಧಾನ, ಆದರೆ ತಡೆಯಲಾಗದ್ದು: “ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ ತೆವಳುತ್ತಾ ಮೇಲೇರುತ್ತದೆ” ಮತ್ತು “ಒಂದು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ನೆಲೆಸುತ್ತದೆ” — ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನೇ ಯಾವುದೇ ಅನಂತ ಮೊತ್ತದ ಬಗ್ಗೆ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮೊದಲು ಪರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಎಂದೂ ಮುಗಿಯದ ಚಾಕೊಲೇಟ್ನ ಪಳಗಿದ ರಾಶಿಯ ಜೊತೆ ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡು — ಆಮೇಲೆ ಒಂದೇ ಸಲಕ್ಕೆ ಮಿತಿಯೂ ಅನಂತವೂ ಆಗಿರುವ ಆಕಾರವನ್ನು ಭೇಟಿಯಾಗು, ಚಿತ್ರಗಾರನ ಒಗಟು — ಅದು ನಡೆಯುವುದೇ ಈ ವಿಭಜನೆಯ ಮೇಲೆ.
ಮುಂದಿನ ಸಲ ಏನಾದರೂ ನಿಂತುಹೋಗುತ್ತಿರುವ ಹಾಗೆ ಕಂಡರೆ — ಅದು ಬರೀ ನಿಧಾನವಾಗಿದೆಯಾ ಅಂತ ಪರೀಕ್ಷಿಸು. 🐌