🏛️ ಖಜಾನೆ · № 8 · ವಿಭಾಗ 2 — ಕತ್ತರಿಸಿ ಜೋಡಿಸುವುದು · ನೋಡು, ನಂತರ ಯೋಚಿಸು
ಈ ಹಿಮಹರಳು ನಿನ್ನ ಅಂಗೈಯಲ್ಲೇ ಹಿಡಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಒಂದು ಕ್ರಯಾನ್ನಲ್ಲಿ ಅದಕ್ಕೆ ಬಣ್ಣ ತುಂಬಿಬಿಡಬಹುದು. ಆದರೆ ನೀನು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿ ಕುಗ್ಗಿ ಅದರ ಅಂಚಿನ ಮೇಲೆ ನಡೆಯಲು ಹೊರಟರೆ, ನೀನು ಎಂದೆಂದಿಗೂ ಮುಗಿಸಲಾರೆ — ಆ ಅಂಚು ಅನಂತ ಉದ್ದ. ಒಂದೇ ಒಂದು ಪುಟ್ಟ ಆಕಾರದೊಳಗೆ ಎರಡು ಅನಂತಗಳು: ಸಭ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಕಡೆ ನಿಂತುಬಿಡುವ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ, ಮತ್ತು ನಿಲ್ಲುವುದೇ ಇಲ್ಲದ ಸುತ್ತಳತೆ. ಈ ಎರಡೂ ಒಟ್ಟಿಗೇ ಹೇಗೆ ನಿಜವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯ ಅನ್ನುವುದನ್ನು ಈ ಪುಟ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.
ಯಾವುದೇ ವಾಕ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ ಸೆನ್ಸೈಗೆ ಕೇಳು ✨
ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನ, ಒಂದು ನಿಯಮ, ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆ. ಮೊದಲು ವಿಡಿಯೊ ನೋಡು — ಆಮೇಲೆ ಕೆಳಗೆ ಸರಿಸಿ, ಇದಕ್ಕೆ ಯಾವ “ರಾಕ್ಷಸ” ಎಂಬ ಹೆಸರು ಬಿತ್ತು ಅಂತ ತಿಳಿ, ಮತ್ತು ನೀನೇ ಒಂದನ್ನು ಬೆಳೆಸು.
🎧 ವಿಡಿಯೊದಲ್ಲಿ ಮಾತು ಇಂಗ್ಲಿಷ್ನಲ್ಲಿದೆ — ಆದರೆ ಕನ್ನಡ ಸಬ್ಟೈಟಲ್ಗಳು ತಾವಾಗಿಯೇ ಕಾಣಿಸುತ್ತವೆ, ಓದುತ್ತಾ ನೋಡು. ಬೇಕಿದ್ದರೆ ವಿಡಿಯೊದ ಸಬ್ಟೈಟಲ್ ಗುಂಡಿ ಒತ್ತಿ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಪುಟದ ಉಳಿದ ಕಥೆ ಮತ್ತು ಆಟಗಳೆಲ್ಲ ಕನ್ನಡದಲ್ಲಿವೆ.
ನಿಯಮ ಎಷ್ಟು ಸರಳ ಅಂದರೆ ಕೇಳಿದರೆ ಅವಮಾನ ಅನ್ನಿಸುವಷ್ಟು: ಪ್ರತಿ ಅಂಚನ್ನೂ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಅದರ ನಡುವಿನ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಒಂದು ಪುಟ್ಟ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿ ಹೊರಗೆ ಉಬ್ಬಿಸು. ಮತ್ತೆ ಅದನ್ನೇ ಮಾಡು. ಮತ್ತೆ ಮಾಡು. ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ. ಆ ಒಂದೇ ನಡೆಯಿಂದ ಹೊರಬಂದದ್ದು ದೊಡ್ಡ ದೊಡ್ಡ ಗಣಿತಜ್ಞರನ್ನೇ ಹೆದರಿಸಿತು, ಯೂರೋಪಿನ ನಕ್ಷೆಯನ್ನೇ (ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ) ಮತ್ತೆ ಬರೆಸಿತು, ಮತ್ತು ಕೊನೆಗೆ ಅದೇ ಪ್ರಕೃತಿಯ ನೆಚ್ಚಿನ ಟ್ರಿಕ್ ಅಂತ ಗೊತ್ತಾಯಿತು.
1904ರಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಡನ್ನಿನ ಗಣಿತಜ್ಞ ಹೆಲ್ಗೆ ವಾನ್ ಕೋಚ್ ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಬೇಕೆಂದೇ ಕಟ್ಟಿದ — ಇಂಥದ್ದೊಂದು ಇರಲು ಸಾಧ್ಯ ಅಂತ ತೋರಿಸಲು. ಆ ಕಾಲದ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಇಂಥ ಆಕಾರಗಳಿಗೆ “ರಾಕ್ಷಸರು” ಅಂತಲೇ ಕರೆದರು — ಎಷ್ಟು ಜೂಮ್ ಮಾಡಿ ನೋಡಿದರೂ ಮೊನಚು ಮೊನಚಾಗಿಯೇ ಇರುವ ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳು, ಶತಮಾನಗಳಿಂದ ಗಣಿತ ನಂಬಿಕೊಂಡು ಬಂದಿದ್ದ ನುಣುಪಿನ ನಿಯಮಗಳನ್ನೆಲ್ಲ ಮುರಿದುಹಾಕಿದವು. ಇವತ್ತು ಆ ರಾಕ್ಷಸರಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ನೇಹದ ಹೆಸರಿದೆ — ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್ಗಳು — ಮತ್ತು ಅವು ಎಲ್ಲೆಲ್ಲೂ ಇವೆ ಅಂತ ಈಗ ಗೊತ್ತಾಗಿದೆ.
ಗಣಿತದ ಅತ್ಯಂತ ಸ್ನೇಹಪರ ರಾಕ್ಷಸನನ್ನು ಭೇಟಿಯಾಗು. ❄️
1950ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಲೂಯಿಸ್ ಫ್ರೈ ರಿಚರ್ಡ್ಸನ್ ಒಂದು ಹಾಸ್ಯಾಸ್ಪದ ಸಂಗತಿ ಗಮನಿಸಿದ: ಸ್ಪೇನ್ ಮತ್ತು ಪೋರ್ಚುಗಲ್ ತಮ್ಮ ಎರಡು ದೇಶಗಳ ನಡುವಿನ ಒಂದೇ ಗಡಿಗೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಉದ್ದ ಹೇಳುತ್ತಿದ್ದವು — ನೂರಾರು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಇಬ್ಬರೂ ಸುಳ್ಳು ಹೇಳುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ. ಬರೀ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆಗೋಲು ಬಳಸಿದ್ದರು, ಅಷ್ಟೇ. ಸಣ್ಣ ಅಳತೆಗೋಲು ಹೆಚ್ಚು ಸುಳಿ-ತಿರುವುಗಳನ್ನು ಅಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: ಸಣ್ಣ ಅಳತೆಗೋಲು → ಉದ್ದದ ಕರಾವಳಿ, ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಕೊನೆಯೇ ಕಾಣುವುದಿಲ್ಲ. ನಿಜವಾದ ಭೂಗೋಳವೂ ಹಿಮಹರಳಿನ ಅಂಚಿನ ಹಾಗೇ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ.
ಕೆಳಗಿನ ಆಟದಲ್ಲಿ ನೀನೇ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ನೋಡು. 🗺️
ರೊಮನೆಸ್ಕೊ ಬ್ರೊಕೊಲಿ — ಸುರುಳಿಗಳಿಂದ ಮಾಡಿದ ಸುರುಳಿಗಳಿಂದ ಮಾಡಿದ ಸುರುಳಿಗಳು. ತನ್ನದೇ ಪುಟ್ಟ ಪ್ರತಿಗಳಿಂದ ಕಟ್ಟಿದ ಜರೀಗಿಡದ ಎಲೆಗಳು. ತಮಗೆ ನೀರುಣಿಸುವ ಹಳ್ಳಗಳ ಹಾಗೇ ಕವಲೊಡೆಯುವ ನದಿಗಳ ಜಾಲ. ಮತ್ತು ನಿನ್ನ ಶ್ವಾಸಕೋಶ: ಬಹುತೇಕ ಒಂದು ಟೆನಿಸ್ ಅಂಗಳದಷ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಮಡಚಿ ನಿನ್ನ ಎದೆಯೊಳಗೆ ಇಟ್ಟಿದೆ — ಅದು ಹಿಮಹರಳಿನ ಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಬಳಸಿಕೊಂಡಿದ್ದು. ಒಂದೇ ಸರಳ ನಿಯಮವನ್ನು ಎಲ್ಲ ಗಾತ್ರಗಳಲ್ಲೂ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದು — ಅದೇ ಪ್ರಕೃತಿಯ ನೆಚ್ಚಿನ ಕಟ್ಟಡ ಸಂಹಿತೆ.
ತರಕಾರಿ ಅಂಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮೆ ಗಮನಿಸು. 🥦
ಪ್ರತಿ ಪೀಳಿಗೆಯೂ ಅಂಚನ್ನು ×4/3 ಮಾಡುತ್ತದೆ — ಅದನ್ನೇ ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ ಮಾಡಿದರೆ ಸುತ್ತಳತೆ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಸಿಡಿದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಪ್ರತಿ ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಸೇರುವ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕುಗ್ಗುತ್ತಾ ಹೋಗುವ ಒಂದು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿ — ಅಂದರೆ ಖಜಾನೆ №2ರ ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಬಾರಿನ ಪಟ್ಟು — ಮತ್ತು ಅದರ ಮೊತ್ತ ಮೊದಲ ತ್ರಿಕೋನದ ನಿಖರವಾಗಿ 8/5. ಅನಂತ ಅನ್ನುವುದು ಒಂದೇ ವಸ್ತು ಅಲ್ಲ: ಯಾವಾಗಲೂ ಯಾವ ಅಳತೆ ನೆಲೆ ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ ಅಂತ ಕೇಳು. (π = 4 ಬಲೆಯ ಪಾಠವೂ ಅದೇ.)
ಎರಡು ಮಾತು. ಎರಡನ್ನೂ ಉಳಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ.
ವಿಡಿಯೊದ ಮೊದಲಲ್ಲಿ ಬರುವ ಆ ಪುಟ್ಟ ಇರುವೆ — ಬೆನ್ನಿಗೆ ಚೀಲ, ಕೊರಳಿಗೆ ಶಾಲು — ಈಗಲೂ ಅಲ್ಲೇ ಇದೆ, ಹಿಮಹರಳಿನ ಸುತ್ತ ಒಂದು ಪೂರ್ತಿ ಸುತ್ತು ಹಾಕಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾ. ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಮೂಲೆಗಳು ಮೊಳೆತಾಗೆಲ್ಲ ಇರುವೆ ಶಾಲನ್ನು ಬಿಗಿ ಮಾಡಿಕೊಂಡು ಮತ್ತೆ ಹೊರಡುತ್ತದೆ. ಈ ನಡಿಗೆ ಮುಗಿಯುತ್ತದೆ ಅನ್ನುವ ನಂಬಿಕೆ ಅದಕ್ಕೆ ಎಂದೂ ಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ; ಹಿಮಹರಳು ಮಾತ್ರ ಒಪ್ಪುತ್ತಲೇ ಇಲ್ಲ.
ಪೀಳಿಗೆಗಳ ಮೂಲಕ ಸ್ಲೈಡರ್ ಸರಿಸಿ, ಎರಡು ಅನಂತಗಳ ಓಟದ ಪಂದ್ಯ ನೋಡು. ಅಂಚು ಪ್ರತಿ ಸುತ್ತಿಗೂ 4/3ರಷ್ಟು ಗುಣವಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಸ್ತೀರ್ಣವೋ 8/5ರಲ್ಲಿರುವ ಹಸಿರು ಗುರಿಗೆರೆಯ ಕಡೆಗೆ ತೆವಳುತ್ತದೆ — ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎಂದೂ ದಾಟುವುದಿಲ್ಲ.
ಇಲ್ಲೊಂದು ತುಂಡು ಕರಾವಳಿ ಇದೆ. ಹಳೆಯ ಸರ್ವೇಯರ್ಗಳು ಅಳೆಯುತ್ತಿದ್ದ ಹಾಗೆ ಅಳೆ: ಅದರ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಅಳತೆಗೋಲು ಇಟ್ಟು, ತುದಿಗೆ ತುದಿ ಜೋಡಿಸುತ್ತಾ ಎಣಿಸು. ಆಮೇಲೆ ಅಳತೆಗೋಲನ್ನು ಚಿಕ್ಕದು ಮಾಡು, ಅದೇ ಕರಾವಳಿಯನ್ನು ಮತ್ತೆ ಅಳೆ. ಸ್ಪೇನ್ ಮತ್ತು ಪೋರ್ಚುಗಲ್, ನೀವು ಜಗಳ ಆಡಲು ಶುರುಮಾಡಿದ್ದು ಹೀಗೇ.
“ಅನಂತ” ಅನ್ನುವುದು ಒಂದೇ ವಸ್ತು ಅಲ್ಲ — ಅದು ನೀನು ಪೂರ್ತಿ ಕೇಳಿ ಮುಗಿಸಬೇಕಾದ ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆ: ಯಾವ ಅಳತೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಒಂದು ಕಡೆ ನೆಲೆ ನಿಲ್ಲುತ್ತದಾ? ಹಿಮಹರಳಿನ ಸುತ್ತಳತೆ ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ 4/3ರಷ್ಟು ಗುಣವಾಗುತ್ತಲೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಅದು ಎಲ್ಲಿಯೂ ನೆಲೆ ನಿಲ್ಲುವುದಿಲ್ಲ: ಅದು ಅನಂತಕ್ಕೇ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಸೇರುವ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವೋ ಪ್ರತಿ ಸುತ್ತಿಗೂ ×4/9ರಷ್ಟು ಕುಗ್ಗುತ್ತದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಅದೊಂದು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿ, ಮತ್ತು ಅದು ನಿಖರವಾಗಿ 8/5ರ ಮೇಲೆಯೇ ಬಂದು ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ — ಒಂದಕ್ಕೆ ಸೇರುವ ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಬಾರ್ ಅನಂತವನ್ನು ಪಳಗಿಸಿದ ಅದೇ ದಾರಿಯಲ್ಲಿ. ಎರಡು ಮಿತಿಗಳು, ಎರಡು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಉತ್ತರಗಳು, ಒಂದೇ ಪ್ರಾಮಾಣಿಕ ಆಕಾರ. ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಅಜಾಗರೂಕವಾಗಿ ಓದುವುದರಿಂದಲೇ π = 4 ಬಲೆ ಜನರನ್ನು ಮೋಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ — ಮತ್ತು ಜಾಗರೂಕವಾಗಿ ಓದಿದ್ದರಿಂದಲೇ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ವೃತ್ತದ ನಿಜವಾದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದ. ಆ ಜಾಗರೂಕತೆಯೇ ನಿಜವಾದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ (calculus).
ಮುಂದಿನ ಸಲ ಯಾರಾದರೂ “ಅದು ಅನಂತ!” ಅಂದರೆ ಕೇಳು: ಯಾವ ಭಾಗ? 🥷