🏛️ ಖಜಾನೆ · № 7 · ವಿಭಾಗ 2 — ಕತ್ತರಿಸಿ ಜೋಡಿಸುವುದು · ನೋಡು, ನಂತರ ಯೋಚಿಸು
ಸನ್ನೆಕೋಲು, ತೇಲುವಿಕೆಯ ನಿಯಮ, ಮತ್ತು ಇಡೀ ಸಾಮ್ರಾಜ್ಯವನ್ನೇ ಬೆಚ್ಚಿಬೀಳಿಸಿದ ಯುದ್ಧಯಂತ್ರಗಳು — ಇವೆಲ್ಲ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದವು. ಆದರೆ ತನ್ನದೇ ಸಮಾಧಿಯ ವಿಷಯ ಬಂದಾಗ ಅವನು ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನೂ ಕೇಳಲಿಲ್ಲ — ಬರೀ ಒಂದು ಡಬ್ಬಿಯೊಳಗೆ ಬಿಗಿಯಾಗಿ ಕೂತ ಚೆಂಡಿನ ಒಂದು ಕೆತ್ತನೆ, ಅಷ್ಟೇ. ಯಾಕೆ? ಯಾಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ಅವನಿಗೆ ಪ್ರಿಯವಾಗಿದ್ದ ಒಂದು ಫಲಿತಾಂಶ: ಆ ಚೆಂಡು ಡಬ್ಬಿಯ ನಿಖರವಾದ, ಅಚ್ಚುಕಟ್ಟಾದ ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಷ್ಟನ್ನೇ ತುಂಬುತ್ತದೆ — ದುಂಡಗೆ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, “ಸುಮಾರಾಗಿ” ಇಲ್ಲ. ಯಾವ ಭಿನ್ನರಾಶಿ? ವಿಡಿಯೊ ಸೀಳು ಸೀಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತಾ ಅಲ್ಲಿಗೇ ತಲುಪುತ್ತದೆ. ಆ ಕತ್ತರಿಸುವ ಆಟಕ್ಕೆ ಈಗ ಒಂದು ಹೆಸರೂ ಇದೆ — ಕವಲಿಯೇರಿ ತತ್ವ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಆಡಿದ್ದು ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್, ಕವಲಿಯೇರಿಗಿಂತ 1,800 ವರ್ಷ ಮೊದಲು.
ಯಾವುದೇ ವಾಕ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ ಸೆನ್ಸೈಗೆ ಕೇಳು ✨
ಒಂದು ಚೆಂಡು, ಒಂದು ಡಬ್ಬಿ, ಒಂದು ತಲೆಕೆಳಗಾದ ಶಂಕು — ನಾಣ್ಯಗಳ ಪೇರಿನ ಹಾಗೆ ಮಹಡಿ ಮಹಡಿಯಾಗಿ ಸೀಳಿದ್ದು. ಒಮ್ಮೆ ಪೂರ್ತಿ ನೋಡು, ಆಮೇಲೆ ಕೆಳಗೆ ಸರಿಸಿ ಆ ಸಮಾಧಿಯ ಕಥೆ, ಕಳೆದುಹೋದ ನೋಟ್ಬುಕ್, ಮತ್ತು ನಿನ್ನ ಕೈಯಾರೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸೀಳುವಿಕೆ — ಎಲ್ಲ ನೋಡು.
🎧 ವಿಡಿಯೊದಲ್ಲಿ ಮಾತು ಇಂಗ್ಲಿಷ್ನಲ್ಲಿದೆ — ಆದರೆ ಕನ್ನಡ ಸಬ್ಟೈಟಲ್ಗಳು ತಾವಾಗಿಯೇ ಕಾಣಿಸುತ್ತವೆ, ಓದುತ್ತಾ ನೋಡು. ಬೇಕಿದ್ದರೆ ವಿಡಿಯೊದ ಸಬ್ಟೈಟಲ್ ಗುಂಡಿ ಒತ್ತಿ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಪುಟದ ಉಳಿದ ಕಥೆ ಮತ್ತು ಆಟಗಳೆಲ್ಲ ಕನ್ನಡದಲ್ಲಿವೆ.
ಖಜಾನೆಯ ಮೊದಲ ನಿಧಿಗೆ — ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ πr² ಯಾಕೆ — ಭೇಟಿ ಕೊಟ್ಟಿದ್ದರೆ, ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ನ ಕಥೆಯ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟ ಮಾತು ನಿನಗೆ ಗೊತ್ತೇ ಇದೆ: ಗೋಳ ಮತ್ತು ಸಿಲಿಂಡರ್ ಕೆತ್ತಿದ ಒಂದು ಸಮಾಧಿಶಿಲೆ. ಈ ಪಾಠವೇ ಆ ಕೆತ್ತನೆ, ಪೂರ್ತಿ ತೀರಿಸಿದ ಸಾಲ. ಪುರಾತನ ಜಗತ್ತಿನ ಅತಿಶ್ರೇಷ್ಠ ಗಣಿತಜ್ಞ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಎಲ್ಲದರಲ್ಲೂ, ತನ್ನ ನೆನಪಿಗೆ ಅವನು ಆರಿಸಿಕೊಂಡದ್ದು ಇದನ್ನೇ.
ತನ್ನ ಸಮಾಧಿಯ ಮೇಲೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ವಿಷಯ ಬೇಕು ಅಂತ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಗೆಳೆಯರಿಗೆ ಕೇಳಿಕೊಂಡ: ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಒಳಗೊಂದು ಗೋಳ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಘನಫಲಗಳ ಅನುಪಾತ 2 : 3 — ತನ್ನ ಎಲ್ಲ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಅವನಿಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಿಯವಾದದ್ದು. ಅವನ ಆಸೆ ನೆರವೇರಿತು… ಆಮೇಲೆ ಸಿರಾಕ್ಯೂಸ್ ಅವನನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಹೂಳಿದ್ದೇವೆ ಅನ್ನುವುದನ್ನೇ ಮರೆತುಬಿಟ್ಟಿತು. 137 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ, ಕ್ರಿ.ಪೂ. 75ರಲ್ಲಿ, ರೋಮನ್ ಬರಹಗಾರ ಸಿಸೆರೊ ಆ ಕಳೆದುಹೋದ ಸಮಾಧಿಯನ್ನು ಹುಡುಕಿಕೊಂಡು ಹೋಗಿ, ಪೊದೆಗಳಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿಹೋಗಿದ್ದ ಅದನ್ನು ಪತ್ತೆ ಮಾಡಿದ — ಅದೇ ಕೆತ್ತನೆಯನ್ನೇ ಹುಡುಕುತ್ತಾ.
ಸಮಾಧಿಯನ್ನೇ ಹುಡುಕಿಕೊಡುವಷ್ಟು ಒಳ್ಳೆಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿ. 🥷
ಎರಡು ನಾಣ್ಯದ ಪೇರುಗಳು — ಒಂದು ನೆಟ್ಟಗೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಓರೆಯಾಗಿ — ಎರಡರಲ್ಲೂ ಒಂದೇ ಮೊತ್ತದ ದುಡ್ಡು, ಯಾಕೆಂದರೆ ಅವು ಮಹಡಿ ಮಹಡಿಗೂ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಇಡೀ ನಿಯಮ ಅಷ್ಟೇ: ಎರಡು ಆಕೃತಿಗಳ ಪ್ರತಿ ಎತ್ತರದಲ್ಲೂ ಸೀಳಿನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಘನಫಲವೂ ಒಂದೇ. ಇದಕ್ಕೆ ಬೊನಾವೆಂತೂರಾ ಕವಲಿಯೇರಿ ಅನ್ನುವ 1600ರ ದಶಕದ ಇಟಲಿಯ ಸನ್ಯಾಸಿ-ಗಣಿತಜ್ಞನ ಹೆಸರಿದೆ; ಸೀಳುವುದನ್ನು ಸರಿಯಾದ ವಿಧಾನವಾಗಿ ಮಾಡಿದವನು ಅವನೇ. ಆದರೆ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಇದೇ ಆಟವನ್ನು 1,800 ವರ್ಷ ಮೊದಲೇ ಆಡಿದ್ದ.
ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಟ್ರೋಫಿಗೆ ಎರಡನೇ ಆಟಗಾರನ ಹೆಸರು ಬಿದ್ದುಬಿಡುತ್ತದೆ.
ಇದು ನಿಜವಾದ ಕಥೆ. ಇಂಥ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ತಾನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿದೆ ಅನ್ನುವುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತಾ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಒಂದು ಗುಟ್ಟಿನ ನೋಟ್ಬುಕ್ ಬರೆದಿದ್ದ — ದ ಮೆಥಡ್. ಅವನ ದಾರಿ? ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಒಂದು ಕಲ್ಪನೆಯ ಸನ್ನೆಕೋಲಿನ ಮೇಲೆ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ತೂಗಿ ನೋಡುವುದು! ಆಮೇಲೆ ಆ ಪುಸ್ತಕ ಶತಮಾನಗಳ ಕಾಲ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗಿಬಿಟ್ಟಿತು: ಸನ್ಯಾಸಿಗಳು ಆ ಚರ್ಮಪತ್ರವನ್ನು ಉಜ್ಜಿ ಸ್ವಚ್ಛ ಮಾಡಿ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಪ್ರಾರ್ಥನಾ ಪುಸ್ತಕ ಬರೆದುಬಿಟ್ಟರು. 1998ರಲ್ಲಿ ಆ ಹರಿದುಹೋದ ಪುಸ್ತಕ ಹರಾಜಿನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡು 20 ಲಕ್ಷ ಡಾಲರ್ಗೆ ಮಾರಾಟವಾಯಿತು — ಮತ್ತು ಆಧುನಿಕ ಚಿತ್ರಣ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ ಪ್ರಾರ್ಥನೆಗಳ ಕೆಳಗಿಂದ ಅಡಗಿದ್ದ ಗಣಿತವನ್ನು ಮತ್ತೆ ಹೊರತೆಗೆಯಿತು. ಅದರ ಹೆಸರು ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಪ್ಯಾಲಿಂಪ್ಸೆಸ್ಟ್.
2,000 ವರ್ಷ ಹಳೆಯ ಒಂದು ಗುಟ್ಟು, X-ಕಿರಣಗಳಿಂದ ಬಚಾವಾಯಿತು. 📖✨
ಟೆನಿಸ್ ಚೆಂಡುಗಳ ಡಬ್ಬಿ ಇದೇ ಸಮಾಧಿಯ ಆಕಾರ, ಮೂರು ಪೇರಿಸಿದ್ದು. ಪ್ರತಿ ಚೆಂಡೂ ತನ್ನದೇ ಎತ್ತರ-ಅಗಲದ ಒಂದು ಕೋಣೆಯಲ್ಲಿ ಕೂತಿರುತ್ತದೆ — ಮತ್ತು ಅದರ ನಿಖರವಾಗಿ ⅔ ಭಾಗವನ್ನಷ್ಟೇ ತುಂಬುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಟೆನಿಸ್ ಡಬ್ಬಿಯ ⅓ ಭಾಗ ಬರೀ ಗಾಳಿ. ಕಾರ್ಖಾನೆಯವರ ಸೋಮಾರಿತನದಿಂದ ಅಲ್ಲ. ಸಿಸಿಲಿಯ ಒಂದು ಸಮಾಧಿಯ ಮೇಲೆ ಕೆತ್ತಿದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ.
ಮುಂದಿನ ಸಲ ಡಬ್ಬಿ ತೆರೆದಾಗ ಬರುವ ಆ “ಶ್” ಸದ್ದು — ಅದು ⅓ ಪ್ರಮೇಯ.
ಪುಟ್ಟ ದುಂಡು ಕನ್ನಡಕ ಹಾಕಿಕೊಂಡ ಒಂದು ನರಿ ಪಂಡಿತ, ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಮಹಡಿ ಮಹಡಿಯಾಗಿ ಸೀಳುವ ಒಂದು ಕಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಗಾರ ನಡೆಸುತ್ತದೆ. ಗೋಳದ ಸೀಳುಗಳನ್ನು ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಸೀಳುಗಳ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಇಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವ ಸೂತ್ರವನ್ನೂ ಸುಮ್ಮನೆ ನಂಬದೆ ಒಂದೇ ಹಠದ ಪ್ರಶ್ನೆ ಕೇಳುತ್ತಲೇ ಇರುತ್ತದೆ: ಈ ಮಹಡಿಗಳು ನಿಜಕ್ಕೂ ಒಂದೇ ಅಳತೆಯವಾ? ಸಮಾಧಿಯ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ದಾರಿ ಅದೇ.
ವಿಡಿಯೊದಲ್ಲಿ ಬಂದ ಪಟ್ಟು ಇಲ್ಲಿದೆ. ಒಂದು ಅರ್ಧ ಚೆಂಡು ತೆಗೆದುಕೋ (r ತ್ರಿಜ್ಯದ ಒಂದು ಗುಮ್ಮಟ), ಮತ್ತು ಅದೇ ತ್ರಿಜ್ಯ, ಅದೇ r ಎತ್ತರದ ಒಂದು ಡಬ್ಬಿ — ಆದರೆ ಅದರೊಳಗಿಂದ ಒಂದು ತಲೆಕೆಳಗಾದ ಶಂಕುವನ್ನು ಕೊರೆದು ತೆಗೆದಿದೆ — ಮೊನೆ ಕೆಳಗೆ, ಬಾಯಿ ಮೇಲೆ. ಈಗ ಎರಡನ್ನೂ ಯಾವುದೇ ಎತ್ತರ hನಲ್ಲಿ ಸೀಳು. ಗುಮ್ಮಟದ ಮಹಡಿ ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ತಟ್ಟೆ; ಕೊರೆದ ಡಬ್ಬಿಯ ಮಹಡಿ ಒಂದು ಉಂಗುರ.
ತಟ್ಟೆಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ: π(r² − h²). ಉಂಗುರದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ: πr² − πh². ಪ್ರತಿ ಎತ್ತರದಲ್ಲೂ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆ — ಹಾಗಾಗಿ ನಾಣ್ಯದ ಪೇರಿನ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಆ ಎರಡು ಆಕೃತಿಗಳ ಘನಫಲ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ. ಮತ್ತು ಕೊರೆದ ಡಬ್ಬಿಯದ್ದು ಸುಲಭ: ಶಂಕುವಿನ ಘನಫಲ ಡಬ್ಬಿಯ ⅓, ಹಾಗಾಗಿ ಉಳಿಯುವುದು ⅔. ಅರ್ಧ ಚೆಂಡು = ಅರ್ಧ ಡಬ್ಬಿಯ ⅔… ಹಾಗಾಗಿ ಪೂರ್ತಿ ಚೆಂಡು = ಪೂರ್ತಿ ಡಬ್ಬಿಯ ⅔. ಅದೇ ಸಮಾಧಿಯ ಮೇಲಿನ ಕೆತ್ತನೆ.
⚠️ ಮಹಡಿಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೋಲಿಸು, ಅಗಲವನ್ನಲ್ಲ! ತುದಿಯ ಹತ್ತಿರ ಉಂಗುರ ಇನ್ನೂ ಡಬ್ಬಿಯ ಪೂರ್ತಿ ಅಗಲಕ್ಕೂ ಚಾಚಿಕೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ತಟ್ಟೆಯೋ ಕುಗ್ಗಿಹೋಗಿರುತ್ತದೆ — ಆದರೆ ಆ ಉಂಗುರ ಬಹುತೇಕ ಬರೀ ತೂತು. ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ; ಅಗಲಗಳು ಪ್ರಯತ್ನವನ್ನೇ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ.
ಈಗ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಒದ್ದೆ ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸೋಣ. ಒಂದು ಚೆಂಡು ತನ್ನ ಡಬ್ಬಿಯೊಳಗೆ ಬಿಗಿಯಾಗಿ ಕೂತಿದೆ — ಒಂದೇ ಎತ್ತರ, ಒಂದೇ ಅಗಲ. ಡಬ್ಬಿ ಅಂಚಿನವರೆಗೂ ತುಂಬುವವರೆಗೆ ಸಂದಿಗಳಲ್ಲಿ ನೀರು ಸುರಿ, ಮತ್ತು ಮೀಟರ್ ನೋಡುತ್ತಿರು: ಆ ಡಬ್ಬಿ ನಿಜಕ್ಕೂ ಎಷ್ಟು ನೀರು ಕುಡಿಯಿತು?
ಸುರಿದ ನೀರು (ಡಬ್ಬಿಗಳಲ್ಲಿ): ಚುಕ್ಕಿ ಗೆರೆ ಅಂದರೆ ಡಬ್ಬಿಯ ⅓
ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಸುರಿದದ್ದು: 0 ಡಬ್ಬಿ
ಒಂದು ಘನವಸ್ತುವನ್ನು ಮಹಡಿ ಮಹಡಿಯಾಗಿ ಸೀಳಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕೂಡಿಸುವುದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಆಧುನಿಕ ಹೆಸರಿದೆ: ಸಮಾಕಲನ (integration — ತೆಳ್ಳನೆಯ ಸೀಳುಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸುವುದು) — ಇದು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ (calculus) ಇನ್ನೊಂದು ಅರ್ಧ. ಮತ್ತು ಸಮಾಧಿಯ ಮೇಲಿನ ಆ ಅನುಪಾತದೊಳಗೆ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರವೊಂದು ಅಡಗಿದೆ: ಡಬ್ಬಿಯ ಘನಫಲ 2πr³, ಹಾಗಾಗಿ ಚೆಂಡಿನ ಘನಫಲ ಅದರ ⅔ — ಅಂದರೆ 4/3 × πr³, ಗೋಳದ ಘನಫಲ. ಅದನ್ನು ನೀನು ಈಗಷ್ಟೇ ನಾಣ್ಯಗಳಿಂದ ಮತ್ತು ಒಂದು ಶಂಕುವಿನಿಂದ ಸಾಬೀತು ಮಾಡಿಬಿಟ್ಟೆ.
ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ತನ್ನ ವೃತ್ತವನ್ನು ಖಾಲಿ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನದಿಂದ ಅದುಮಿ ಹಿಡಿದ, ಎಂದೂ ಮುಗಿಯದ ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಥರ ಅನಂತವನ್ನು ಪಳಗಿಸಿದ, ಮತ್ತು ತನ್ನ ಗೋಳವನ್ನು ನಾಣ್ಯದ ಪೇರಿನ ಹಾಗೆ ಸೀಳಿದ. ಮೂರು ಖಜಾನೆ ನಿಧಿಗಳು, ಒಂದೇ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಿಲ್ಲದ ಮೆದುಳು.
ಮುಂದಿನ ಸಲ ಯಾರಾದರೂ ಚಿನ್ನದ ಟ್ರೋಫಿ ತೋರಿಸಿ ಜಂಬ ಕೊಚ್ಚಿಕೊಂಡರೆ ನೆನಪಿಸಿಕೋ: ಪುರಾತನ ಕಾಲದ ಅತಿಶ್ರೇಷ್ಠ ಗಣಿತಜ್ಞ ಆರಿಸಿಕೊಂಡದ್ದು ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು. 🥷